Die II. Abtheilung.
Von dem Canone Harmonico.
Das I. Stücke.
Von dem völlig circulirenden Genere,
und etlichen drauf gegründeten
Temperaturen


Die Octave ist unser Raum/ woselbst alle intervalla circuliren. Vor die Temperaturen nun/ ist die Vermischung der Quinten und Quarten am dienlichsten.

Wenn also jene addirt/ diese aber subtrahirt werden:

3  :  4   F  :  C 
3  :  4   B  :  F 
3  :  2   Ds :  B 
3  :  4   Gs :  Ds
3  :  2   Cs :  Gs
3  :  4   Fs :  Cs
3  :  4   H  :  Fs
3  :  2   E  :  H 
3  :  4   A  :  E 
3  :  2   D  :  A 
3  :  4   G  :  D 
3  :  2   C  :  G 
so äußert sich erstlich der Uberschuß des commatis Pythagorici 531441 : 524288. Dieses comma ist die ratio differentialis zwischen den hemitoniis 256 : 243 und 2187 : 2048, wie auch die ratio totalis des commatis Didymici 81 : 80 und des schismatis 32805 : 32768.

Darnach kommen zugleich die rationes der Tone unter einander hervor. Zu dem Grund-Tone verhalten sich die andern also:

  c  |2      : 1      
  H  |243    : 128    
  B  |59049  : 32768  
  A  |27     : 16     
  Gs |6561   : 4096   
  G  |3      : 2      
  Fs |729    : 512    
  F  |177147 : 131072 
  E  |81     : 64     
  Ds |19683  : 16384  
  D  |9      : 8      
C:Cs |2187   : 2048   
Vor alle Tone/ c ausgenommen/ setze ich dis comma Pythagoricum, weil die Temperaturen hier eintreffen werden. Es könnte subtrahendo geschehen. Ich sehe aber/ daß/ in meinem ehmahligen Diatonisch-Chromatisch-Enharmonischen Genere, bey den erstern 6 Quinten der terminus acutior, in den übrigen hingegen der gravior, zu diesem commate, stehen bleibt. Dahero behalte ich
  4 : 3    C : Fm  = C : F  
 16 : 9    C : Bm  = C : Bm 
 32 : 27   C : Dsm = C : Dsd
128 : 81   C : Gsm = C : Gsd
256 : 243  C : Csm = C : Csd
und brauche umb diese Stellen/ bey wenigern Ziffern/ statt der Subtraction, die Addition. Nachgehends setze ich 2000.00 zum Grund-Tone/ und copulire das gantze Genus mit Hülffe der R. A.   Hier ist es:
c    1000.00
H    1053.49
Hm   1067.87
B    1109.85
Bm   1125.00
A    1185.18
Am   1201.35
Gs   1248.59
Gsm  1265.62
G    1333.33
Gm   1351.52
Fs   1404.66
Fsm  1423.82
F    1479.81
Fm   1500.00
E    1580.24
Em   1601.80
Ds   1664.78
Dsm  1687.50
D    1777.77
Dm   1802.03
Cs   1872.88
Csm  1898.43
C    2000.00
Drauf wird das Pythagorische' comma in 12 gleiche Theile getheilt/ nicht mit dem Circkel (denn davon ist die Rede noch nicht) sondern es werden/ zwischen seine äußersten terminos, 11 Arithmetische mittel-proportionale gesetzt:
12. 6291456    
11. 6298609  1.
10. 6305762  2.
 9. 6312915  3.
 8. 6320068  4.
 7. 6327221  5.
 6. 6334374  6.
 5. 6341527  7.
 4. 6348680  8.
 3. 6355833  9.
 2. 6362986 10.
 1. 6370139 11.
    6377292 12.
Es solten aber die Theile des commatis, von Rechts wegen/ nicht einander gleich seyn/ sondern nach proportion abfallen. Derowegen theile ich es auch geometrice in 12 rationes:
12. 524288    
11. 524880  1.
10. 525473  2.
 9. 526066  3.
 8. 526661  4.
 7. 527255  5.
 6. 527851  6.
 5. 528447  7.
 4. 529045  8.
 3. 529642  9.
 2. 530241 10.
 1. 530840 11.
    531441 12.
Hierbey wird/ nicht ohne Vergnügen/ wahrgenommen/ daß das letzte Geometrische Zwölfftheil 524880 : 524288 = 32805 : 32768. CALVISIVS war zu frieden/ wenn er die Vergleichung beyderley commatum durch die R. A. suchte/ und erinnerte/ comma veterum (Pythagoricum) aliquantum esse maius (Didymico.) Exercit.III.p.97. Und Werckmeister/ der sonsten auch diese kleine ration mehr als zu wohl kannte/ ließ es dabey bewenden/ daß sie/ auf einem dreyfüßigen Canone, etwan einen kleinen Circkelstich ausmache. Musical. Temperat. Cap. XVIII. XXII. XXIII.

Endlich greiffe ich die Temperaturen selbst an.

Die Schwebungen der triadis harmonicae, auf deren drey intervalla doch alles ankommt/ wil ich in gantzen Zahlen vorstellen/ welche den numeratorem fractionis der 12theil andeuten. Uberhaupt schweben alle Quinten unterwerts/ alle Tertiae maiores aufwerts/ und alle Tertiae minores wieder unterwerts/ und zwar/ wie es nach der Ordnung ihrer rationum seyn sol/ die ersten etwas weniges/ die andern mehr/ die dritten am meisten.

In der Ersten Temperatur schweben
I. die Quinten:
f  : c'    0
b  : f'    0
ds : b     1
gs : ds'   1
cs : gs    0
fs : cs'   0
h  : fs'   1
e  : h     1
a  : e'    2
d  : a     2
g  : d'    2
c  : g     2
II. die Tertiae maiores:
gs:c'  10,  ds:g    9,  b :d'   8,  f :a    6.
e :gs  10,  h :ds' 10,  fs:b   10,  cs:f   10.
c :e    4,  g :h    5,  d :fs   6,  a :cs'  8.
III. die Tertiae minores:
a  : c'   6,  e  : g    6,  h  : d'   7.
fs : a    8,  cs : e   10,  gs : h   11.
ds : fs  11,  b  : cs' 10,  f  : gs  10.
c  : ds  11,  g  : b   10,  d  : f    8.

In der Andern schweben
I. die Quinten:
f  : c'    1
b  : f'    1
ds : b     0
gs : ds'   0
cs : gs    1
fs : cs'   1
h  : fs'   1
e  : h     0
a  : e'    1
d  : a     2
g  : d'    2
c  : g     2
II. die Tertiae maiores:
gs:c'  10,  ds:g    8,  b :d'   6,  f :a    5.
e :gs   9,  h :ds'  9,  fs:b   10,  cs:f   10.
c :e    5,  g :h    7,  d :fs   8,  a :cs'  9.
III. die Tertiae minores:
a  : c'   6,  e  : g    7,  h  : d'   9.
fs : a   10,  cs : e   10,  gs : h    9.
ds : fs  10,  b  : cs' 11,  f  : gs  11.
c  : ds  10,  g  : b    8,  d  : f    7.

In der Dritten schweben
I. die Quinten:
f  : c'    0
b  : f'    1
ds : b     1
gs : ds'   0
cs : gs    1
fs : cs'   1
h  : fs'   1
e  : h     0
a  : e'    1
d  : a     2
g  : d'    2
c  : g     2
II. die Tertiae maiores:
gs:c'  10,  ds:g    8,  b :d'   7,  f :a    6.
e :gs   9,  h :ds'  9,  fs:b    9,  cs:f    9.
c :e    5,  g :h    7,  d :fs   8,  a :cs'  9.
III. die Tertiae minores:
a  : c'   6,  e  : g    7,  h  : d'   9.
fs : a   10,  cs : e   10,  gs : h    9.
ds : fs  10,  b  : cs' 10,  f  : gs  10.
c  : ds  10,  g  : b    9,  d  : f    8.
Und in der Veirdten schweben alle Quinten 1, alle Tertiae maiores 8, alle Tertiae minores 9.

Wem nun das circulirende Genus, mit seinen commatibus, aufzutragen beliebt/ kan sich solgenden Vortheils bedienen. Er verfertige sich einen tausend-theiligen Maßstab/ in der Länge des halben Canonis, lasse das Tausend bey allen Terminis aus/ brauche die benöthigte Vorsicht wegen der zwey hinter dem Puncte stehenden Ziffern (wie bey den Tabulis Sinuum zu geschehen pflegt) und steche die Distanzen/ am sichersten/ unmittelbar auf hartes Holtz/ von der Helffte des Canonis an/ zur Lincken/ richtig ab. Darnach theile er das comma allenthalben mit dem Circkel in 12 gleiche Theile/ und führe die Temperaturen/ beschriebener maßen/ auf.

Es giebt aber einen noch kürtzern Weg/ diesen Zweck zu erreichen. Denn mit den Theilen des commatis, welche die Schwebungen terminiren/ bin ich eben/ wie mit dem Genere selbst/ umbgegange~. Und zwar sind/ bey den drey ersten/ die Geometrischen Theile/ bey der vierdten aber so wohl die Arithmetischen als Geometrischen/ angenommen worden: dort/ desto richtiger zu gehen/ hier/ den kleinen Unterschied einmahl sehen zu laßen. Derohalben kan man alle Vier alsofort/ nach ebe~ dem Maßstabe/ ja noch darzu auf einen Canonem nur 2 Schuh lang/ etwan in ein paar Stunde~/ auftragen.

Erste Temperatur.
c    1000.00
H    1064.25
B    1125.00
A    1193.23
Gs   1262.76
G    1336.34
Fs   1420.61
F    1500.00
E    1594.58
Ds   1685.59
D    1785.82
Cs   1894.15
C    2000.00

Andre Temperatur.
c    1000.00
H    1061.85
B    1122.45
A    1193.23
Gs   1262.76
G    1336.34
Fs   1417.40
F    1498.30
E    1592.78
Ds   1683.68
D    1785.82
Cs   1892.01
C    2000.00

Dritte Temperatur.
c    1000.00
H    1061.85
B    1123.72
A    1193.23
Gs   1262.76
G    1336.34
Fs   1417.40
F    1500.00
E    1592.78
Ds   1683.68
D    1785.82
Cs   1892.01
C    2000.00

Veirdte Temperatur.
    Arithmetisch.  Geometrisch.
c |    1000.00   |   1000.00   
H |    1059.48   |   1059.45   
B |    1122.47   |   1122.45   
A |    1189.22   |   1189.20   
Gs|    1259.94   |   1259.91   
G |    1334.84   |   1334.83   
Fs|    1414.24   |   1414.20   
F |    1498.31   |   1498.30   
E |    1587.43   |   1587.39   
Ds|    1681.82   |   1681.78   
D |    1781.82   |   1781.79   
Cs|    1887.79   |   1887.74   
C |    2000.00   |   2000.00   
Das sind nun die aufgedachten Circulum gebauete Temperaturen/ welches dem Hrn. Werckmeister so sehr schwer vorgekommen ist. Musical. Temper. Cap. XXV. Music. Wegweis. Cap. XVIII.

Wer auf den Circulum der Quinten/ Tertiarum maiorum, und minorum, rechtschaffen Achtung giebt/ wird endlich sehen/ wie ich zu den drey ersten Temperaturen gelanget/ und daß ich die Schwebungen aller 12 Tertiarum maiorum, darnach die Schwebungen der ersten 3 Quinten/ als data, angenommen: wornach die übrigen intervalla alle mit einander/ nothwendig/ von sich selbst haben kommen müßen. Es gereuet mich auch der kleinen Mühe nicht. Denn außer dem/ daß der sonus fundamentalis eines Modi bald höher bald tiefer ist/ so verändert sich zugleich die Trias Harmonica: woraus ohnfehlbar eine mehr als doppelte Gemüths-Bewegung entstehen muß.

Jedoch heißt dieses nicht der gleich-schwebenden etwas zu nahe gesprochen/ welche sich einer gantz besondern Anmuth rühmen kan? Meines Erachtens schickt sich die Erste/ mehrentheils/ am besten vor ein Dorff/ die Andre vor eine kleine Stadt/ die Dritte vor eine große/ und die Vierdte vor den Hof.


Das II. Stücke.
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